地形强迫下的定常罗斯贝波：位涡守恒与交互可视化

纬向基本气流越过山地时产生的地形强迫扰动，可以在山脊下游持续存在。在本文采用的理想化正压框架下，西风基本流可支持向下游延伸的定常罗斯贝波列，而东风基本流下的定常响应则局限于地形强迫附近。这种差异取决于纬向基本流与行星涡度经向梯度的符号关系。

以下从位涡守恒出发分析上述现象。地形引起的气柱伸长与压缩改变相对涡度，行星涡度的经向梯度（β效应）则将相对涡度变化与流体质点的经向位移联系起来。通过线性化正压位涡方程，推导定常波控制方程，比较西风和东风基本流对应的解，并结合交互式拉格朗日质点可视化解释其动力学特征。

交互式可视化： “隐藏可视化”和“显示可视化”分别用于关闭和恢复图形叠加层。参数面板可设置基本流风向与风速、山体高度与宽度、β以及动画播放速度。阅读理论推导时可暂时关闭可视化图层。

1. 位涡守恒

考虑上下边界均为物质面的无黏流体柱。设气柱厚度为 $H$，相对涡度的垂直分量为 $\zeta$，科里奥利参数为 $f$。在浅流体柱近似下，位涡 $q$ 满足物质守恒关系：

$$\boxed{q=\frac{\zeta+f}{H},\qquad\frac{Dq}{Dt}=0.}$$

物质导数（拉格朗日导数）定义为

$$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}.$$

取纬向坐标 $x$ 的正方向为向东，经向坐标 $y$ 的正方向为向北，则相对涡度和β平面近似可表示为

$$\zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},\qquad f(y)=f_0+\beta y.$$

其中，$\beta=\partial f/\partial y$ 为行星涡度的经向梯度。在北半球中纬度β平面上，$\beta>0$。

2. 地形强迫引起的相对涡度变化

令 $h(x)$ 表示地形高度，$\eta_{\mathrm{top}}(x)$ 表示气柱上边界物质面的垂直位移。相对于未扰动厚度 $H_0$，局地气柱厚度及其扰动满足

$$\boxed{H(x)=H_0+\eta_{\mathrm{top}}(x)-h(x),\qquad\delta H=\eta_{\mathrm{top}}-h.}$$

地形抬升使下边界上移，而给定的上边界位移可能覆盖更广的水平区域，因此气柱在到达坡面之前便可能于上游发生伸长。气柱沿坡面运动时，下边界的进一步抬升也可能使气柱厚度减小，产生压缩。

对于初始位于 $y=y_0$，且满足 $\zeta=0$、$H=H_0$ 的气块，位涡的物质守恒给出

$$\frac{\zeta+f_0+\beta y}{H_0+\delta H} =\frac{f_0+\beta y_0}{H_0}.$$

当相对厚度扰动较小，并在参考纬度附近保留最低阶项时，可得

$$\boxed{\zeta\simeq\frac{f_0}{H_0}\delta H-\beta(y-y_0).}$$

右端第一项表征气柱厚度变化的贡献：当 $\delta H>0$ 时，气柱伸长有利于增加气旋性相对涡度。第二项表征经向位移引起的行星涡度变化。因而，迎风坡上的气柱压缩倾向于产生反气旋性相对涡度变化，但最终响应的符号仍取决于两项的共同作用。

因此，水平轨迹的偏转可以先于气块越过山脊而发生。若给定的上边界位移向迎风侧延伸，相对涡度扰动便可能出现在迎风侧山麓，甚至更远的上游区域。

3. 正压位涡方程的线性化

为构建线性定常响应模式，设定空间均匀的纬向基本气流为

$$(\overline u,\overline v)=(U,0),\qquad U\ne 0,$$

并假设相对于基准气柱厚度 $H_0$ 的扰动幅度较小。定义有效地形高度为

$$\boxed{h_{\mathrm{eff}}(x)\equiv h(x)-\eta_{\mathrm{top}}(x),\qquad H=H_0-h_{\mathrm{eff}}.}$$

在小振幅条件 $|h_{\mathrm{eff}}|/H_0\ll1$ 下，将位涡展开至一阶，得到

$$\begin{aligned} q&=\frac{f_0+\beta y+\zeta’}{H_0-h_{\mathrm{eff}}}\\[3pt] &\simeq\frac{f_0}{H_0}+\frac{1}{H_0} \left[\zeta’+\beta y+\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}\right]. \end{aligned}$$

其中忽略了扰动量的乘积以及与 $\beta y\,h_{\mathrm{eff}}/H_0$ 成正比的修正项。将其代入 $Dq/Dt=0$，保留基本流平流项以及由 $v’$ 引起的行星涡度经向平流项，可得

$$\boxed{\frac{\partial\zeta’}{\partial t} +U\frac{\partial\zeta’}{\partial x} +\beta v’ =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.}$$

方程右端表示有效气柱厚度沿纬向变化所产生的定常地形强迫。施加定常条件 $\partial\zeta’/\partial t=0$ 后，即得到定常控制方程。

4. 地形强迫下定常罗斯贝波方程的推导

对水平无辐散流，引入流函数

$$\Psi(x,y,t)=-Uy+\psi'(x,y,t),\quad u=-\frac{\partial\Psi}{\partial y},\quad v=\frac{\partial\Psi}{\partial x}.$$

相应地，扰动经向速度与相对涡度分别为 $v’=\partial_x\psi’$ 和 $\zeta’=\nabla^2\psi’$。在定常条件下，线性化涡度方程写为

$$U\frac{\partial}{\partial x}\nabla^2\psi’ +\beta\frac{\partial\psi’}{\partial x} =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.$$

沿 $x$ 方向积分，并选取使上游参考扰动为零的积分常数，可得

$$\boxed{\nabla^2\psi’+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

假定理想化山脊在经向上均匀延伸，并仅考虑相应的经向均匀扰动 $\psi’=\psi'(x)$，则有

$$\boxed{\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

该式为一维地形强迫定常罗斯贝波方程。可视化中仅为改善显示效果而将山脊绘制为有限的经向长度；理论方程中的强迫项仍与 $y$ 无关。

5. 定常响应对基本流方向的依赖

在远离地形强迫的区域，$h_{\mathrm{eff}}\to0$，控制方程退化为齐次方程

$$\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’=0.$$

5.1 西风基本流：$U>0$

当 $\beta>0$ 且 $U>0$ 时，定常波数及波长定义为

$$\boxed{k_s=\sqrt{\frac{\beta}{U}},\qquad \lambda_s=2\pi\sqrt{\frac{U}{\beta}}.}$$

齐次方程具有空间振荡解。施加向下游传播的辐射边界条件，并排除来自上游边界的自由入射波，可得到强迫解

$$\boxed{\psi'(x)=-\frac{f_0}{H_0 k_s} \int_{-\infty}^{x}\sin\!\left[k_s(x-\xi)\right] h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

山脊下游的振荡分量可持续存在，从而形成定常罗斯贝波列。由前式可知，$U$ 增大使定常波长增加，而 $\beta$ 增大使其减小。

5.2 东风基本流：$U<0$

保持 $\beta>0$，取 $U<0$，则可定义

$$\kappa=\sqrt{-\frac{\beta}{U}},\qquad \frac{d^2\psi’}{dx^2}-\kappa^2\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}.$$

要求响应在两侧远场均呈指数衰减，可得

$$\boxed{\psi'(x)=\frac{f_0}{2\kappa H_0} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa|x-\xi|} h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

远场响应不具有空间振荡性，而是在特征尺度 $\kappa^{-1}=\sqrt{-U/\beta}$ 上衰减。因此，在所采用的一维正压模式中，反转基本流方向会使定常响应由振荡型转变为衰减型。

5.3 基于罗斯贝波色散关系的解释

无地形强迫时，平面波扰动 $e^{i(kx+ly-\omega t)}$ 满足色散关系

$$\omega=Uk-\frac{\beta k}{k^2+l^2}.$$

对于 $k\ne0$，定常条件 $\omega=0$ 要求 $k^2+l^2=\beta/U$。取经向均匀分量 $l=0$，可得 $k_s^2=\beta/U$。因此，存在实数定常波数的必要条件是 $U$ 与 $\beta$ 同号。这一条件来源于行星β效应，而非独立的地形β参数。

6. 给定山脊几何形状与上边界位移

数值可视化采用具有有限纬向半宽度的山脊剖面，其地形函数为

$$h(x)=\begin{cases} h_0\sqrt{1-(x/a)^2},& |x|<a,\\ 0,&|x|\ge a. \end{cases}$$

其中，$h_0$ 为山脊最大高度，$a$ 为纬向半宽度。上边界位移作为给定函数输入，而不是通过三维垂直运动方程求解获得。为表示上游气柱伸长以及坡面附近的压缩，指定以下分布：

$$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{top}}(x)=h_0\bigg[&0.32\exp\!\left(-\frac{x^2}{2(1.75a)^2}\right)\\ &+0.45\exp\!\left(-\frac{(x+1.30sa)^2}{2(0.70a)^2}\right)\bigg],\\ &s=\operatorname{sgn}(U). \end{aligned}$$

第二项向上游侧偏移，且其中心位置随 $U$ 符号改变而反转。相关数值系数属于可视化模式设定，并非地形波动的普遍性质。固定参数取 $f_0=10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}$ 和 $H_0=10^4\,\mathrm{m}$。

在默认参数 $U=10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、$\beta=2.5\times10^{-11}\,\mathrm{m^{-1}s^{-1}}$、$h_0=450\,\mathrm{m}$ 和 $a=950\,\mathrm{km}$ 下，理论定常波长约为 3,974 km。对于经向均匀分量，从山脊中心到绘图区域下游边界的距离约对应 2.5 个波长。

7. 拉格朗日气块轨迹可视化的解释

对于经向均匀扰动流函数 $\psi’=\psi'(x)$，水平速度分量和相对涡度分别为

$$u=U,\qquad v=\frac{d\psi’}{dx},\qquad \zeta’=\frac{d^2\psi’}{dx^2}.$$

在这一不随时间变化的欧拉速度场中，气块轨迹满足

$$\boxed{\frac{dx_p}{dt}=U,\qquad \frac{dy_p}{dt}=\left.\frac{d\psi’}{dx}\right|_{x=x_p}.}$$

动画每经过 0.4 s，从上游边界沿经向排列的一列位置释放7个气块，其初始经向坐标分布在 $\pm0.5a$ 范围内。连续释放的气块有助于区分拉格朗日质点运动与欧拉速度场的定常性。

颜色编码表示局地相对涡度：负值为蓝色（北半球对应反气旋性），零值为灰白色，正值为红色（气旋性）。轨迹的各线段保留气块经过相应位置时所对应的相对涡度颜色。

参数改变后，程序立即重新计算定常速度场，已有气块从当前位置开始按照更新后的速度场继续平流。这属于数值可视化约定，并不模拟两个平衡态之间真实的非定常调整过程。因此，跨越参数变化时刻的轨迹不能解释为同一个定常速度场的流线。

8. 模式假设及适用范围

该模式假设正压、水平无辐散、线性动力过程以及经向均匀的山脊。三维垂直运动、大气层结、摩擦作用、非线性波—平均流相互作用与地形阻塞均未显式表示。上边界位移由外部指定。当地形振幅或扰动速度较大时，线性近似所需的小扰动假设可能失效。

可视化给出水平面内的经向偏转，而非显示气流沿山坡上升或下降的垂直剖面。虽然绘图中山脊的经向长度有限，但理论模型假设山脊沿经向无限延伸。

参考文献

Holton, J. R. (2004). An Introduction to Dynamic Meteorology (4th ed.). Elsevier Academic Press. Chapter 4, §4.3, pp. 97–100.