Ondes de Rossby stationnaires et relief : théorie et visualisation

Le franchissement d’un relief par un écoulement atmosphérique zonal peut engendrer des perturbations qui persistent bien au-delà de la crête. Dans le cadre barotrope idéalisé étudié ici, un écoulement de base d’ouest peut entretenir en aval un train d’ondes de Rossby stationnaires, tandis que la réponse stationnaire associée à un écoulement de base d’est demeure spatialement localisée au voisinage du relief. Cette différence dépend du signe de l’écoulement zonal de base relativement au gradient méridien de vorticité planétaire.

Cette propriété est examinée à partir de la conservation de la vorticité potentielle. L’étirement et la compression des colonnes fluides induits par l’orographie modifient la vorticité relative, tandis que le gradient méridien de vorticité planétaire (effet β) couple ces variations au déplacement méridien des particules fluides. L’analyse présente la dérivation de l’équation linéarisée des ondes stationnaires, la comparaison des solutions pour les deux directions de l’écoulement de base et leur interprétation au moyen d’une visualisation lagrangienne interactive.

Visualisation interactive : Les commandes « Masquer la visualisation » et « Afficher la visualisation » permettent respectivement de désactiver et de rétablir la superposition graphique. Le panneau de configuration permet de prescrire la direction et la vitesse de l’écoulement de base, la hauteur et la largeur du relief, β et la vitesse de l’animation. La superposition peut être masquée pendant l’examen de la dérivation analytique.

1. Conservation de la vorticité potentielle

Considérons une colonne de fluide non visqueux, limitée supérieurement et inférieurement par des surfaces matérielles. On note $H$ son épaisseur, $\zeta$ la composante verticale de la vorticité relative et $f$ le paramètre de Coriolis. Dans l’approximation d’une colonne peu profonde, la vorticité potentielle $q$ est conservée matériellement :

$$\boxed{q=\frac{\zeta+f}{H},\qquad\frac{Dq}{Dt}=0.}$$

La dérivée matérielle, ou lagrangienne, est définie par

$$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}.$$

L’axe zonal $x$ étant orienté vers l’est et l’axe méridien $y$ vers le nord, la vorticité relative et l’approximation du plan β s’expriment par

$$\zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},\qquad f(y)=f_0+\beta y.$$

Le paramètre $\beta=\partial f/\partial y$ représente le gradient méridien de vorticité planétaire ; il est positif sur un plan β des moyennes latitudes de l’hémisphère Nord.

2. Variations de vorticité relative sous l’effet du relief

Soient $h(x)$ l’altitude du relief et $\eta_{\mathrm{top}}(x)$ le déplacement vertical de la surface matérielle supérieure. En prenant pour référence l’épaisseur non perturbée $H_0$, l’épaisseur locale et son anomalie vérifient

$$\boxed{H(x)=H_0+\eta_{\mathrm{top}}(x)-h(x),\qquad\delta H=\eta_{\mathrm{top}}-h.}$$

Le soulèvement orographique de la limite inférieure peut être accompagné d’un déplacement de la limite supérieure sur une étendue plus importante. Un étirement de la colonne est donc possible en amont du versant. Sur le versant, le soulèvement de la limite inférieure peut, à l’inverse, réduire l’épaisseur de la colonne et provoquer sa compression.

Pour une particule initialement située en $y=y_0$, telle que $\zeta=0$ et $H=H_0$, la conservation matérielle de la vorticité potentielle impose

$$\frac{\zeta+f_0+\beta y}{H_0+\delta H} =\frac{f_0+\beta y_0}{H_0}.$$

À l’ordre dominant, pour des anomalies relatives d’épaisseur faibles au voisinage de la latitude de référence, il vient

$$\boxed{\zeta\simeq\frac{f_0}{H_0}\delta H-\beta(y-y_0).}$$

Le premier terme représente l’effet des variations d’épaisseur : un étirement positif ($\delta H>0$) favorise une augmentation de la vorticité relative cyclonique. Le second terme traduit la variation de la vorticité planétaire associée au déplacement méridien. Une compression sur le versant au vent favorise donc une tendance anticyclonique, mais le signe de la réponse totale résulte de la contribution combinée des deux termes.

Une déviation de la trajectoire horizontale peut ainsi précéder le franchissement de la crête. Lorsque la limite supérieure présente un déplacement en amont, une perturbation de vorticité relative peut déjà être présente au pied du versant au vent, voire plus loin en amont.

3. Linéarisation de l’équation barotrope de vorticité potentielle

Pour établir une réponse stationnaire linéaire, on prescrit un écoulement zonal de base uniforme,

$$(\overline u,\overline v)=(U,0),\qquad U\ne 0,$$

et l’on suppose faibles les perturbations autour de l’épaisseur de référence $H_0$. La hauteur orographique effective est définie par

$$\boxed{h_{\mathrm{eff}}(x)\equiv h(x)-\eta_{\mathrm{top}}(x),\qquad H=H_0-h_{\mathrm{eff}}.}$$

Sous l’hypothèse de faible amplitude $|h_{\mathrm{eff}}|/H_0\ll1$, le développement de la vorticité potentielle au premier ordre donne

$$\begin{aligned} q&=\frac{f_0+\beta y+\zeta’}{H_0-h_{\mathrm{eff}}}\\[3pt] &\simeq\frac{f_0}{H_0}+\frac{1}{H_0} \left[\zeta’+\beta y+\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}\right]. \end{aligned}$$

Les produits de perturbations ainsi que le terme correctif proportionnel à $\beta y\,h_{\mathrm{eff}}/H_0$ sont négligés. En substituant ce développement dans $Dq/Dt=0$, puis en retenant l’advection par l’écoulement zonal de base et l’advection méridienne de vorticité planétaire par $v’$, on obtient

$$\boxed{\frac{\partial\zeta’}{\partial t} +U\frac{\partial\zeta’}{\partial x} +\beta v’ =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.}$$

Le membre de droite représente le forçage orographique stationnaire lié au gradient zonal de l’épaisseur effective. L’équation stationnaire s’obtient en imposant $\partial\zeta’/\partial t=0$.

4. Dérivation de l’équation des ondes de Rossby stationnaires forcées

Pour un écoulement horizontal non divergent, on introduit la fonction de courant

$$\Psi(x,y,t)=-Uy+\psi'(x,y,t),\quad u=-\frac{\partial\Psi}{\partial y},\quad v=\frac{\partial\Psi}{\partial x}.$$

La vitesse méridienne perturbée et la vorticité relative vérifient alors $v’=\partial_x\psi’$ et $\zeta’=\nabla^2\psi’$. En régime stationnaire, l’équation linéarisée prend la forme

$$U\frac{\partial}{\partial x}\nabla^2\psi’ +\beta\frac{\partial\psi’}{\partial x} =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.$$

L’intégration par rapport à $x$, avec une constante choisie de manière à fixer la perturbation de référence à zéro en amont, fournit

$$\boxed{\nabla^2\psi’+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

Le relief idéalisé est invariant suivant la direction méridienne. En se limitant à la composante perturbée correspondante, $\psi’=\psi'(x)$, on obtient

$$\boxed{\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

Cette expression constitue l’équation unidimensionnelle des ondes de Rossby stationnaires soumises à un forçage orographique. La longueur méridienne du relief est limitée dans l’animation uniquement pour des raisons de lisibilité ; le forçage analytique reste indépendant de $y$.

5. Dépendance de la réponse stationnaire au sens de l’écoulement de base

Loin de la montagne, $h_{\mathrm{eff}}\to0$. L’équation homogène s’écrit

$$\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’=0.$$

5.1 Courant d’ouest : $U>0$

Pour $\beta>0$ et $U>0$, définissons

$$\boxed{k_s=\sqrt{\frac{\beta}{U}},\qquad \lambda_s=2\pi\sqrt{\frac{U}{\beta}}.}$$

Les solutions homogènes sont spatialement oscillantes. Sous une condition de rayonnement vers l’aval excluant une onde libre incidente depuis l’amont, la solution forcée s’écrit

$$\boxed{\psi'(x)=-\frac{f_0}{H_0 k_s} \int_{-\infty}^{x}\sin\!\left[k_s(x-\xi)\right] h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

En aval du relief, la composante oscillante subsiste sous la forme d’un train d’ondes de Rossby stationnaires. La longueur d’onde augmente avec $U$ et diminue avec $\beta$, conformément à la relation précédente.

5.2 Courant d’est : $U<0$

Pour le même $\beta>0$, mais avec $U<0$, posons

$$\kappa=\sqrt{-\frac{\beta}{U}},\qquad \frac{d^2\psi’}{dx^2}-\kappa^2\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}.$$

En exigeant que la réponse décroisse aux deux frontières éloignées, on obtient

$$\boxed{\psi'(x)=\frac{f_0}{2\kappa H_0} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa|x-\xi|} h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

Dans le champ lointain, la réponse ne présente pas d’oscillation spatiale et décroît sur l’échelle caractéristique $\kappa^{-1}=\sqrt{-U/\beta}$. Dans ce modèle barotrope unidimensionnel, l’inversion de l’écoulement de base transforme donc une réponse stationnaire oscillante en une réponse évanescente.

5.3 Interprétation au moyen de la relation de dispersion des ondes de Rossby

En l’absence de forçage orographique, une perturbation sous forme d’onde plane $e^{i(kx+ly-\omega t)}$ satisfait à la relation de dispersion

$$\omega=Uk-\frac{\beta k}{k^2+l^2}.$$

Pour $k\ne0$, la condition de stationnarité $\omega=0$ entraîne $k^2+l^2=\beta/U$. Pour la composante méridiennement uniforme $l=0$, il en résulte $k_s^2=\beta/U$. Un nombre d’onde stationnaire réel exige donc que $U$ et $\beta$ soient de même signe. Cette condition relève de l’effet β planétaire et ne fait intervenir aucun paramètre β topographique distinct.

6. Géométrie orographique et déplacement prescrit de la limite supérieure

Pour représenter une pente visible et une largeur de montagne finie, la simulation utilise le profil de crête suivant :

$$h(x)=\begin{cases} h_0\sqrt{1-(x/a)^2},& |x|<a,\\ 0,&|x|\ge a. \end{cases}$$

Le paramètre $h_0$ désigne l’altitude maximale et $a$ la demi-largeur zonale. Le déplacement de la limite supérieure est prescrit et non calculé à partir d’une dynamique verticale tridimensionnelle. Afin de représenter l’étirement en amont et la compression au-dessus du versant, la distribution suivante est imposée :

$$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{top}}(x)=h_0\bigg[&0.32\exp\!\left(-\frac{x^2}{2(1.75a)^2}\right)\\ &+0.45\exp\!\left(-\frac{(x+1.30sa)^2}{2(0.70a)^2}\right)\bigg],\\ &s=\operatorname{sgn}(U). \end{aligned}$$

Le second terme est décalé vers l’amont ; sa position s’inverse lorsque le signe de $U$ change. Les coefficients numériques sont des choix de paramétrisation pour la visualisation, et non des propriétés universelles des ondes orographiques. Les paramètres fixes sont $f_0=10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}$ et $H_0=10^4\,\mathrm{m}$.

Pour les paramètres par défaut $U=10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, $\beta=2.5\times10^{-11}\,\mathrm{m^{-1}s^{-1}}$, $h_0=450\,\mathrm{m}$ et $a=950\,\mathrm{km}$, la longueur d’onde stationnaire théorique est d’environ 3 974 km. Le domaine représenté couvre approximativement 2,5 longueurs d’onde entre le centre du relief et la frontière aval pour la composante méridiennement uniforme.

7. Interprétation de la visualisation lagrangienne des particules

Comme $\psi’=\psi'(x)$, les composantes de la vitesse et la vorticité relative sont

$$u=U,\qquad v=\frac{d\psi’}{dx},\qquad \zeta’=\frac{d^2\psi’}{dx^2}.$$

Une particule se déplace dans ce champ indépendant du temps selon

$$\boxed{\frac{dx_p}{dt}=U,\qquad \frac{dy_p}{dt}=\left.\frac{d\psi’}{dx}\right|_{x=x_p}.}$$

Toutes les 0,4 s du temps d’animation, sept particules sont émises sur une ligne méridienne à la frontière amont, leurs positions initiales couvrant $\pm0.5a$. Les émissions successives permettent de distinguer le déplacement lagrangien des particules de la stationnarité du champ de vitesse eulérien.

Le codage colorimétrique indique la vorticité relative locale : bleu pour les valeurs négatives (anticycloniques dans l’hémisphère Nord), blanc cassé pour zéro et rouge pour les valeurs positives (cycloniques). Chaque segment de trajectoire conserve la couleur de la vorticité au moment où la particule a traversé la position considérée.

Après toute modification d’un paramètre, le champ stationnaire est recalculé instantanément et les particules existantes sont advectées depuis leur position courante par le nouveau champ. Cette convention de représentation ne simule pas l’ajustement transitoire physique entre deux équilibres. Les trajectoires franchissant un changement de paramètre ne sont donc pas des lignes de courant d’un même champ stationnaire.

8. Hypothèses et limites de validité du modèle

Le modèle suppose une dynamique linéaire, un écoulement horizontal non divergent, un fluide barotrope et un relief méridiennement uniforme. La dynamique verticale tridimensionnelle, la stratification atmosphérique, les effets de frottement, les interactions non linéaires entre ondes et écoulement moyen ainsi que le blocage orographique ne sont pas explicitement représentés. Le déplacement de la limite supérieure est prescrit. Des amplitudes topographiques ou des vitesses perturbées élevées peuvent invalider l’approximation linéaire.

La visualisation présente une déviation méridienne horizontale en vue de dessus ; elle ne constitue pas une coupe verticale de l’ascendance et de la subsidence de l’air au-dessus du relief. Bien que la représentation graphique tronque la montagne dans la direction méridienne, le modèle mathématique suppose un relief d’extension méridienne illimitée.

Référence

Holton, J. R. (2004). An Introduction to Dynamic Meteorology (4th ed.). Elsevier Academic Press. Chapter 4, §4.3, pp. 97–100.