Ondas de Rossby estacionarias y orografía: teoría y visualización

Las perturbaciones inducidas por el relieve en un flujo atmosférico zonal pueden persistir más allá de la cresta montañosa. En el marco barotrópico idealizado considerado aquí, un flujo básico del oeste puede sostener un tren de ondas de Rossby estacionarias corriente abajo, mientras que la respuesta estacionaria bajo un flujo básico del este permanece localizada en las proximidades del forzamiento orográfico. Esta diferencia depende del signo del flujo zonal básico en relación con el gradiente meridional de la vorticidad planetaria.

Este comportamiento se analiza a partir de la conservación de la vorticidad potencial. El estiramiento y la compresión de las columnas fluidas asociados a la orografía modifican la vorticidad relativa, mientras que el gradiente meridional de vorticidad planetaria (efecto β) relaciona dichas variaciones con el desplazamiento meridional de las partículas. Se deriva la ecuación linealizada de ondas estacionarias, se comparan sus soluciones para flujos básicos de sentidos opuestos y se interpretan mediante una visualización lagrangiana interactiva.

Visualización interactiva: Los controles «Ocultar visualización» y «Mostrar visualización» permiten desactivar y restaurar, respectivamente, la superposición gráfica. El panel de parámetros permite especificar la dirección y velocidad del flujo básico, la altura y anchura de la montaña, β y la velocidad de reproducción. La superposición puede desactivarse durante el examen de la derivación analítica.

1. Conservación de la vorticidad potencial

Consideremos una columna de fluido no viscoso acotada superior e inferiormente por superficies materiales. Sean $H$ su espesor, $\zeta$ la componente vertical de la vorticidad relativa y $f$ el parámetro de Coriolis. En la aproximación de columna somera, la vorticidad potencial $q$ se conserva materialmente:

$$\boxed{q=\frac{\zeta+f}{H},\qquad\frac{Dq}{Dt}=0.}$$

La derivada material, también denominada derivada lagrangiana, se define como

$$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}.$$

Definiendo la dirección zonal positiva $x$ hacia el este y la meridional positiva $y$ hacia el norte, la vorticidad relativa y la aproximación del plano β se expresan mediante

$$\zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},\qquad f(y)=f_0+\beta y.$$

Aquí, $\beta=\partial f/\partial y$ es el gradiente meridional de la vorticidad planetaria; en un plano β de latitudes medias del hemisferio norte se cumple $\beta>0$.

2. Variación de la vorticidad relativa asociada al forzamiento orográfico

Sean $h(x)$ la elevación orográfica y $\eta_{\mathrm{top}}(x)$ el desplazamiento vertical de la superficie material superior. Con respecto al espesor de referencia no perturbado $H_0$, el espesor local y su anomalía satisfacen

$$\boxed{H(x)=H_0+\eta_{\mathrm{top}}(x)-h(x),\qquad\delta H=\eta_{\mathrm{top}}-h.}$$

El levantamiento orográfico desplaza hacia arriba el límite inferior, mientras que el desplazamiento del límite superior puede abarcar una región más extensa. Por consiguiente, la columna puede estirarse corriente arriba de la ladera. Sobre la pendiente, el ascenso del límite inferior puede producir, en cambio, una disminución del espesor y la consiguiente compresión.

Para una partícula inicialmente situada en $y=y_0$, con $\zeta=0$ y $H=H_0$, la conservación material de la vorticidad potencial impone

$$\frac{\zeta+f_0+\beta y}{H_0+\delta H} =\frac{f_0+\beta y_0}{H_0}.$$

En el orden dominante, para anomalías relativas de espesor pequeñas alrededor de la latitud de referencia, se obtiene

$$\boxed{\zeta\simeq\frac{f_0}{H_0}\delta H-\beta(y-y_0).}$$

El primer término representa la contribución de las variaciones de espesor: un estiramiento positivo ($\delta H>0$) favorece el incremento de la vorticidad relativa ciclónica. El segundo término recoge el efecto del desplazamiento meridional sobre la vorticidad planetaria. En consecuencia, la compresión sobre la pendiente de barlovento favorece una tendencia anticiclónica, aunque el signo de la respuesta total depende de la combinación de ambas contribuciones.

La desviación de una trayectoria horizontal puede, por tanto, iniciarse antes de que la partícula alcance la cresta. Si el desplazamiento del límite superior se extiende hacia barlovento, la perturbación de vorticidad relativa puede manifestarse en las estribaciones o incluso más corriente arriba.

3. Linealización de la ecuación barotrópica de vorticidad potencial

Para obtener un modelo de respuesta estacionaria lineal, se prescribe un flujo zonal básico uniforme,

$$(\overline u,\overline v)=(U,0),\qquad U\ne 0,$$

y se consideran perturbaciones de pequeña amplitud respecto del espesor de referencia $H_0$. La altura orográfica efectiva se define como

$$\boxed{h_{\mathrm{eff}}(x)\equiv h(x)-\eta_{\mathrm{top}}(x),\qquad H=H_0-h_{\mathrm{eff}}.}$$

Bajo la hipótesis de pequeña amplitud $|h_{\mathrm{eff}}|/H_0\ll1$, el desarrollo de la vorticidad potencial hasta primer orden proporciona

$$\begin{aligned} q&=\frac{f_0+\beta y+\zeta’}{H_0-h_{\mathrm{eff}}}\\[3pt] &\simeq\frac{f_0}{H_0}+\frac{1}{H_0} \left[\zeta’+\beta y+\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}\right]. \end{aligned}$$

Se desprecian los productos entre cantidades perturbadas y el término correctivo proporcional a $\beta y\,h_{\mathrm{eff}}/H_0$. Al sustituir el desarrollo en $Dq/Dt=0$ y retener la advección por el flujo zonal básico y la advección meridional de la vorticidad planetaria por $v’$, se obtiene

$$\boxed{\frac{\partial\zeta’}{\partial t} +U\frac{\partial\zeta’}{\partial x} +\beta v’ =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.}$$

El miembro derecho representa el forzamiento orográfico estacionario asociado al gradiente zonal del espesor efectivo. La ecuación estacionaria se obtiene imponiendo $\partial\zeta’/\partial t=0$.

4. Derivación de la ecuación de ondas de Rossby estacionarias forzadas

Para un flujo horizontal no divergente, se introduce la función de corriente

$$\Psi(x,y,t)=-Uy+\psi'(x,y,t),\quad u=-\frac{\partial\Psi}{\partial y},\quad v=\frac{\partial\Psi}{\partial x}.$$

La velocidad meridional perturbada y la vorticidad relativa satisfacen $v’=\partial_x\psi’$ y $\zeta’=\nabla^2\psi’$, respectivamente. En condiciones estacionarias, la ecuación linealizada adopta la forma

$$U\frac{\partial}{\partial x}\nabla^2\psi’ +\beta\frac{\partial\psi’}{\partial x} =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.$$

La integración respecto de $x$, escogiendo la constante de integración para que la perturbación de referencia sea nula corriente arriba, proporciona

$$\boxed{\nabla^2\psi’+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

Se considera una cordillera idealizada invariante en la dirección meridional. Al restringir la solución a la componente correspondiente, $\psi’=\psi'(x)$, se obtiene

$$\boxed{\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

Esta expresión constituye el modelo unidimensional de ondas de Rossby estacionarias forzadas orográficamente. La cordillera se representa con extensión meridional finita únicamente por claridad gráfica; el forzamiento analítico permanece independiente de $y$.

5. Dependencia de la respuesta estacionaria respecto a la dirección del flujo básico

Lejos de la montaña, $h_{\mathrm{eff}}\to0$. La ecuación homogénea es

$$\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’=0.$$

5.1 Flujo del oeste: $U>0$

Para $\beta>0$ y $U>0$, definimos

$$\boxed{k_s=\sqrt{\frac{\beta}{U}},\qquad \lambda_s=2\pi\sqrt{\frac{U}{\beta}}.}$$

Las soluciones homogéneas son espacialmente oscilatorias. Al imponer una condición de radiación corriente abajo que excluye la incidencia de ondas libres desde la frontera corriente arriba, la solución forzada se expresa como

$$\boxed{\psi'(x)=-\frac{f_0}{H_0 k_s} \int_{-\infty}^{x}\sin\!\left[k_s(x-\xi)\right] h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

La componente oscilatoria persiste corriente abajo de la montaña en forma de un tren de ondas de Rossby estacionarias. La longitud de onda aumenta con $U$ y disminuye con $\beta$, de acuerdo con la expresión anterior.

5.2 Flujo del este: $U<0$

Para el mismo $\beta>0$, pero con $U<0$, escribimos

$$\kappa=\sqrt{-\frac{\beta}{U}},\qquad \frac{d^2\psi’}{dx^2}-\kappa^2\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}.$$

Si exigimos que la respuesta decaiga en ambos límites lejanos, obtenemos

$$\boxed{\psi'(x)=\frac{f_0}{2\kappa H_0} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa|x-\xi|} h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

En el campo lejano, la respuesta no presenta oscilaciones espaciales y decrece con una escala característica $\kappa^{-1}=\sqrt{-U/\beta}$. Por consiguiente, dentro del modelo barotrópico unidimensional, la inversión del flujo básico transforma una respuesta estacionaria oscilatoria en una respuesta evanescente.

5.3 Interpretación mediante la relación de dispersión de las ondas de Rossby

En ausencia de forzamiento orográfico, una perturbación de onda plana $e^{i(kx+ly-\omega t)}$ satisface la relación de dispersión

$$\omega=Uk-\frac{\beta k}{k^2+l^2}.$$

Para $k\ne0$, la condición de estacionariedad $\omega=0$ exige $k^2+l^2=\beta/U$. Para la componente meridionalmente uniforme $l=0$, se obtiene $k_s^2=\beta/U$. Por ello, la existencia de un número de onda estacionario real requiere que $U$ y $\beta$ tengan el mismo signo. El criterio procede del efecto β planetario, sin introducir un parámetro β topográfico independiente.

6. Geometría orográfica y desplazamiento prescrito del límite superior

Para representar una pendiente visible y una anchura finita de la montaña, la simulación emplea el siguiente perfil de cresta:

$$h(x)=\begin{cases} h_0\sqrt{1-(x/a)^2},& |x|<a,\\ 0,&|x|\ge a. \end{cases}$$

Aquí, $h_0$ denota la elevación máxima y $a$ la semianchura zonal. El desplazamiento del límite superior se prescribe y no se obtiene a partir del cálculo de la dinámica vertical tridimensional. Para representar el estiramiento corriente arriba y la compresión sobre la ladera, se impone la distribución

$$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{top}}(x)=h_0\bigg[&0.32\exp\!\left(-\frac{x^2}{2(1.75a)^2}\right)\\ &+0.45\exp\!\left(-\frac{(x+1.30sa)^2}{2(0.70a)^2}\right)\bigg],\\ &s=\operatorname{sgn}(U). \end{aligned}$$

El segundo término está desplazado hacia barlovento y cambia de posición cuando se invierte el signo de $U$. Los coeficientes numéricos son elecciones de modelización destinadas a la visualización, no propiedades universales de las ondas orográficas. Los parámetros fijos son $f_0=10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}$ y $H_0=10^4\,\mathrm{m}$.

Para los parámetros por defecto $U=10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, $\beta=2.5\times10^{-11}\,\mathrm{m^{-1}s^{-1}}$, $h_0=450\,\mathrm{m}$ y $a=950\,\mathrm{km}$, la longitud de onda estacionaria teórica es aproximadamente 3974 km. Para la componente meridionalmente uniforme, el dominio abarca unas 2,5 longitudes de onda entre el centro de la cordillera y el límite corriente abajo.

7. Interpretación de la visualización lagrangiana de partículas

Dado que $\psi’=\psi'(x)$, las componentes de la velocidad y la vorticidad relativa son

$$u=U,\qquad v=\frac{d\psi’}{dx},\qquad \zeta’=\frac{d^2\psi’}{dx^2}.$$

Una partícula se desplaza por este campo independiente del tiempo según

$$\boxed{\frac{dx_p}{dt}=U,\qquad \frac{dy_p}{dt}=\left.\frac{d\psi’}{dx}\right|_{x=x_p}.}$$

A intervalos de 0,4 s de tiempo de animación, se introducen siete partículas a lo largo de una línea meridional en el límite corriente arriba, con posiciones iniciales que abarcan $\pm0.5a$. Las emisiones sucesivas permiten distinguir el movimiento lagrangiano de las partículas de la estacionariedad del campo euleriano de velocidad.

La escala cromática representa la vorticidad relativa local: azul para valores negativos (anticiclónicos en el hemisferio norte), blanco roto para cero y rojo para valores positivos (ciclónicos). Cada segmento de la trayectoria mantiene el color asociado a la vorticidad correspondiente al instante de paso por la posición considerada.

Tras modificar un parámetro, el campo estacionario se recalcula instantáneamente y las partículas existentes se advectan desde su posición actual con el campo actualizado. Esta convención gráfica no simula el ajuste transitorio físico entre dos estados de equilibrio. Por ello, las trayectorias que atraviesan un cambio de parámetro no constituyen líneas de corriente de un único campo estacionario.

8. Hipótesis y límites de validez del modelo

La formulación presupone dinámica lineal, flujo horizontal no divergente, comportamiento barotrópico y orografía uniforme en la dirección meridional. No representa explícitamente el movimiento vertical tridimensional, la estratificación atmosférica, la fricción, las interacciones no lineales entre ondas y flujo medio ni el bloqueo orográfico. El desplazamiento del límite superior se prescribe externamente. Grandes amplitudes del relieve o velocidades perturbadas pueden invalidar la aproximación lineal.

La visualización muestra la desviación horizontal meridional en planta y no una sección vertical del ascenso y descenso del aire sobre la montaña. Aunque la cordillera se trunca meridionalmente en la representación gráfica, el modelo matemático supone una extensión meridional ilimitada.

Referencia

Holton, J. R. (2004). An Introduction to Dynamic Meteorology (4th ed.). Elsevier Academic Press. Chapter 4, §4.3, pp. 97–100.