山岳地形による定常ロスビー波：渦位保存からの導出と可視化

東西方向の基本流が山岳地形を横切る際に励起される擾乱は、必ずしも山頂の通過直後に消失しない。本稿で扱う理想化された順圧モデルでは、西風基本流の下で山脈の下流側に定常ロスビー波列が形成され得る一方、東風基本流の下では定常応答が地形近傍に局在する。この応答特性の差異は、基本流の向きと惑星渦度の南北勾配の符号関係に基づいて説明される。

以下では、渦位保存則に基づいて上記の差異を検討する。地形に伴う気柱の伸長・収縮は相対渦度を変化させ、惑星渦度の南北勾配（β効果）は相対渦度の変化と流体粒子の南北変位を結び付ける。順圧渦位方程式の線形化を通して定常波の支配方程式を導出し、基本流が西風および東風の場合の解を比較するとともに、ラグランジュ的な流体粒子可視化との対応を示す。

対話型可視化の操作： 「可視化を非表示」および「可視化を表示」で描画レイヤーを切り替える。設定パネルでは、基本流の風向・風速、地形の高さ・幅、βおよびアニメーションの再生速度を指定できる。数式の検討中は描画レイヤーを非表示にできる。

1. 渦位保存則

上端および下端を物質面で境界付けられた非粘性流体柱を考える。層厚を $H$、相対渦度の鉛直成分を $\zeta$、コリオリパラメータを $f$ とする。浅水型の流体柱近似の下では、渦位 $q$ は次式に従って物質保存される。

$$\boxed{q=\frac{\zeta+f}{H},\qquad\frac{Dq}{Dt}=0.}$$

物質微分（ラグランジュ微分）は、流体粒子の運動に沿う時間変化を表し、次式で定義される。

$$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}.$$

東向きを $x$ 軸の正方向、北向きを $y$ 軸の正方向とすると、相対渦度およびβ平面近似は次式で表される。

$$\zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},\qquad f(y)=f_0+\beta y.$$

ここで $\beta=\partial f/\partial y$ は惑星渦度の南北勾配を表す。北半球中緯度のβ平面では $\beta>0$ である。

2. 地形強制に伴う相対渦度の変化

地形高度を $h(x)$、流体柱の上端物質面の鉛直変位を $\eta_{\mathrm{top}}(x)$ とする。非擾乱時の層厚 $H_0$ を基準とすると、局所的な層厚とその偏差は次式で与えられる。

$$\boxed{H(x)=H_0+\eta_{\mathrm{top}}(x)-h(x),\qquad\delta H=\eta_{\mathrm{top}}-h.}$$

地形による下端境界の上昇に対し、上端境界の変位はより広域に及ぶ場合がある。このため、斜面に到達する前の風上側において気柱の伸長が生じ得る。一方、斜面上では下端境界の上昇によって層厚が減少し、気柱が収縮する場合がある。

初期状態で $y=y_0$、$\zeta=0$、$H=H_0$ を満たす流体粒子について、渦位保存則から次式を得る。

$$\frac{\zeta+f_0+\beta y}{H_0+\delta H} =\frac{f_0+\beta y_0}{H_0}.$$

層厚偏差が基準層厚に比べて十分小さいと仮定し、基準緯度付近で主要項を保持すると、

$$\boxed{\zeta\simeq\frac{f_0}{H_0}\delta H-\beta(y-y_0).}$$

右辺第1項は層厚変化の寄与を表し、$\delta H>0$ のとき気柱の伸長は低気圧性相対渦度を増加させる方向に働く。第2項は南北移動に伴う惑星渦度の変化の寄与を表す。したがって、風上斜面で気柱が収縮すると相対渦度は高気圧性へ変化する傾向を示すが、その正味の符号は両項の相対的な大きさに依存する。

この関係から、水平流跡線の曲がりは山頂への到達に先行して生じ得る。特に、上端境界の変位が風上側に広がる場合、相対渦度擾乱は風上山麓またはさらに上流側にも現れ得る。

3. 順圧渦位方程式の線形化

線形の定常応答を導出するため、空間的に一様な東西方向の基本流を

$$(\overline u,\overline v)=(U,0),\qquad U\ne 0,$$

と設定し、基準層厚 $H_0$ の状態に対する擾乱が小さいと仮定する。実効地形高度を次のように定義する。

$$\boxed{h_{\mathrm{eff}}(x)\equiv h(x)-\eta_{\mathrm{top}}(x),\qquad H=H_0-h_{\mathrm{eff}}.}$$

$|h_{\mathrm{eff}}|/H_0\ll1$ の仮定の下で渦位を一次まで展開すると、

$$\begin{aligned} q&=\frac{f_0+\beta y+\zeta’}{H_0-h_{\mathrm{eff}}}\\[3pt] &\simeq\frac{f_0}{H_0}+\frac{1}{H_0} \left[\zeta’+\beta y+\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}\right]. \end{aligned}$$

を得る。ここでは擾乱量間の積および $\beta y\,h_{\mathrm{eff}}/H_0$ に比例する補正項を無視している。この式を $Dq/Dt=0$ に代入し、基本流による移流と $v’$ による惑星渦度の南北移流を保持すると、

$$\boxed{\frac{\partial\zeta’}{\partial t} +U\frac{\partial\zeta’}{\partial x} +\beta v’ =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.}$$

となる。右辺は、実効的な層厚変化の東西勾配に起因する定常地形強制を表す。定常条件 $\partial\zeta’/\partial t=0$ を課すことで定常方程式が得られる。

4. 地形強制を受ける定常ロスビー波方程式の導出

水平非発散流に対し、流線関数を次のように導入する。

$$\Psi(x,y,t)=-Uy+\psi'(x,y,t),\quad u=-\frac{\partial\Psi}{\partial y},\quad v=\frac{\partial\Psi}{\partial x}.$$

擾乱の南北風成分と相対渦度は、それぞれ $v’=\partial_x\psi’$、$\zeta’=\nabla^2\psi’$ となる。定常条件を適用すると、線形化した渦度方程式は

$$U\frac{\partial}{\partial x}\nabla^2\psi’ +\beta\frac{\partial\psi’}{\partial x} =-\frac{f_0U}{H_0}\frac{d h_{\mathrm{eff}}}{dx}.$$

と表される。$x$ について積分し、積分定数を上流側で擾乱がゼロとなる基準に合わせると、

$$\boxed{\nabla^2\psi’+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

を得る。山脈は南北方向に一様であると仮定する。これに対応して南北方向に一様な擾乱 $\psi’=\psi'(x)$ を考えると、

$$\boxed{\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}(x).}$$

に帰着する。これは一次元の地形強制定常ロスビー波方程式である。可視化では表示の明瞭性を確保するため山脈の南北方向の長さを有限に描いているが、理論上の強制項は $y$ に依存しない。

5. 基本流の向きに対する定常応答の依存性

地形強制が消失する十分遠方では $h_{\mathrm{eff}}\to0$ であり、支配方程式は次の同次方程式となる。

$$\frac{d^2\psi’}{dx^2}+\frac{\beta}{U}\psi’=0.$$

となる。

5.1 西風基本流：$U>0$

$\beta>0$ かつ $U>0$ に対して、定常波数および波長を次式で定義する。

$$\boxed{k_s=\sqrt{\frac{\beta}{U}},\qquad \lambda_s=2\pi\sqrt{\frac{U}{\beta}}.}$$

同次方程式は空間的な振動解をもつ。上流側から入射する自由波が存在しないとする下流向きの放射境界条件を課すと、強制解は

$$\boxed{\psi'(x)=-\frac{f_0}{H_0 k_s} \int_{-\infty}^{x}\sin\!\left[k_s(x-\xi)\right] h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

と表される。山脈の下流側では振動成分が維持され、定常ロスビー波列が形成される。前式に従い、定常波長は $U$ の増加とともに長くなり、$\beta$ の増加とともに短くなる。

5.2 東風基本流：$U<0$

$\beta>0$ の下で $U<0$ とすると、以下のように書ける。

$$\kappa=\sqrt{-\frac{\beta}{U}},\qquad \frac{d^2\psi’}{dx^2}-\kappa^2\psi’ =-\frac{f_0}{H_0}h_{\mathrm{eff}}.$$

擾乱が両側の遠方境界で指数関数的に減衰するという条件を課すと、

$$\boxed{\psi'(x)=\frac{f_0}{2\kappa H_0} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\kappa|x-\xi|} h_{\mathrm{eff}}(\xi)\,d\xi.}$$

を得る。遠方場における解は空間振動を伴わず、特性減衰距離 $\kappa^{-1}=\sqrt{-U/\beta}$ で減衰する。したがって、本稿の一次元順圧モデルにおいては、基本流の反転により定常応答が振動型から減衰型へと変化する。

5.3 ロスビー波の分散関係との整合性

地形強制がないとき、平面波型擾乱 $e^{i(kx+ly-\omega t)}$ は次の分散関係に従う。

$$\omega=Uk-\frac{\beta k}{k^2+l^2}.$$

$k\ne0$ に対する定常条件 $\omega=0$ から、$k^2+l^2=\beta/U$ を得る。南北方向に一様な成分 $l=0$ では $k_s^2=\beta/U$ となる。したがって、実数の定常波数が存在するには $U$ と $\beta$ が同符号である必要がある。この条件は惑星β効果に由来し、独立した地形性βパラメータを仮定するものではない。

6. 山脈形状および所与の上端境界変位

数値可視化では、東西方向に有限の半幅をもつ山脈断面を次の関数で与える。

$$h(x)=\begin{cases} h_0\sqrt{1-(x/a)^2},& |x|<a,\\ 0,&|x|\ge a. \end{cases}$$

$h_0$ は最大地形高度、$a$ は東西方向の半幅である。上端境界変位は三次元の鉛直運動方程式から診断・計算するのではなく、所与の関数として指定する。風上側の伸長と斜面上の収縮を表示するため、次の分布を用いる。

$$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{top}}(x)=h_0\bigg[&0.32\exp\!\left(-\frac{x^2}{2(1.75a)^2}\right)\\ &+0.45\exp\!\left(-\frac{(x+1.30sa)^2}{2(0.70a)^2}\right)\bigg],\\ &s=\operatorname{sgn}(U). \end{aligned}$$

第2項の中心位置は風上側に偏移させており、$U$ の符号を反転するとその位置も反転する。数値係数は可視化上のモデル設定であり、地形性波動の普遍的性質を表すものではない。固定パラメータは $f_0=10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}$、$H_0=10^4\,\mathrm{m}$ とする。

初期値 $U=10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、$\beta=2.5\times10^{-11}\,\mathrm{m^{-1}s^{-1}}$、$h_0=450\,\mathrm{m}$、$a=950\,\mathrm{km}$ に対し、理論的な定常波長は約 3,974 km となる。南北方向に一様な成分について、山脈中心から表示領域の下流端までは約 2.5 波長に相当する。

7. ラグランジュ的粒子可視化の解釈

擾乱流線関数を $\psi’=\psi'(x)$ とすると、水平速度成分および相対渦度は

$$u=U,\qquad v=\frac{d\psi’}{dx},\qquad \zeta’=\frac{d^2\psi’}{dx^2}.$$

となる。時間に依存しないオイラー的速度場中での流体粒子の軌跡は、次の運動方程式に従う。

$$\boxed{\frac{dx_p}{dt}=U,\qquad \frac{dy_p}{dt}=\left.\frac{d\psi’}{dx}\right|_{x=x_p}.}$$

アニメーション時間の 0.4 秒ごとに、上流境界から南北方向に配列された7個の粒子を投入する。放出時の南北座標は $\pm0.5a$ の範囲に分布する。連続的に投入される粒子群により、オイラー的な速度場の定常性とラグランジュ的な粒子移動を区別して確認できる。

粒子色は局所相対渦度を示し、負値を青色（北半球で高気圧性）、ゼロをオフホワイト、正値を赤色（低気圧性）で表示する。粒子軌跡の各線分には、粒子がその位置を通過した時点での相対渦度に対応する色を保持する。

パラメータ変更時には定常速度場を即時再計算し、既存の粒子は現在位置から更新後の場に従って移流される。この表示処理は平衡状態間の物理的な非定常調整過程を時間積分したものではない。したがって、パラメータ変更の前後をまたぐ軌跡は、単一の定常速度場の流線と解釈できない。

8. モデルの仮定と適用限界

本モデルは、南北方向に一様な山脈を対象として、順圧性、水平非発散性および線形性を仮定する。三次元的な鉛直運動、大気成層、摩擦、非線形な波―平均流相互作用、地形性ブロッキングは陽に表現しない。上端境界変位は外部から指定する。また、地形振幅や擾乱速度が大きい場合には、線形化に必要な小擾乱の仮定が成立しない可能性がある。

可視化は水平面内の南北偏向を平面図として表したものであり、山岳斜面に沿った気流の鉛直上昇・下降を示す断面図ではない。表示上の山脈は南北方向に有限の長さをもつが、理論モデルでは南北方向に無限に延びる山脈を仮定する。

参考文献

Holton, J. R. (2004). An Introduction to Dynamic Meteorology (4th ed.). Elsevier Academic Press. Chapter 4, §4.3, pp. 97–100.